- 마블러쉬의 확률과 기댓값
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2021-12-13 09:07:11
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수학쟁이 글이라 다소 재미없을테니 결론부터 후딱 말하고 나서 계산과정 보여줌
결론
마블러쉬 주사위를 굴릴 때마다 얻을 수 있는 포인트 기댓값은 약 70pt.
그러므로 더블듀오까지는 다시굴리고 트리오부터 다시 안 굴리는게 포인트를 얻는 관점에서 가장 이득
경험적으로는 다들 대충 알고 있는 내용이겠지만 이 글의 목적은 계산으로 근거를 보여주는 것.
※가정: 주사위의 각 숫자들이 나올 확률은 똑같고, 주사위를 던지는 모든 시행은 독립 사건(주사위 결과가 다른 주사위 던지기에 확률적 영향을 주지 않는다는 뜻)
전체 경우의 수: 1부터 6까지 나오는 주시위 5개를 던지면 경우의 수는 6^5=7776가지
1. 듀오
6개 숫자 중 듀오로 나올 숫자를 고르는 경우의 수 6
5개 주사위 중 듀오를 띄울 2개의 주사위를 고르는 경우의 수 5C2=10
남은 3개 주사위가 남은 5개 숫자를 서로 다르게 띄우는 경우의 수 5P3=60
6×10×60=3600가지
듀오가 뜰 확률은 3600/7776=약 46.3%
2. 더블듀오
6개 숫자 중 더블듀오로 나올 두 숫자를 고르는 경우의 수 6C2=15
5개 주사위 중 더블듀오 띄울 주사위를 작은 숫자부터 2개씩 2세트 고르는 경우의 수 5C2×3C2=30
남은 1개 주사위가 남은 4개 숫자 중 하나를 띄우는 경우의 수 4
15×30×4=1800가지
더블듀오가 뜰 확률은 1800/7776=약 23.1%
3. 트리오
6개 숫자 중 트리오로 나올 숫자를 고르는 경우의 수 6
5개 주사위 중 트리오 띄울 3개의 주사위를 고르는 경우의 수 5C3=10
남은 2개 주사위가 남은 5개 숫자를 서로 다르게 띄우는 경우의 수 5P2=20
6×10×20=1200가지
트리오가 뜰 확률은 1200/7776=약 15.4%
4. 앙상블
6개 숫자 중 3개짜리 숫자와 2개짜리 숫자를 고르는 경우의 수 6P2=30
5개 주사위 중 3개짜리 숫자를 띄울 3개의 주사위를 고르는 경우의 수 5C3=10
남은 두 주사위는 2개짜리 숫자 띄우면 끝
30×10=300가지
앙상블이 뜰 확률은 300/7776=약 3.86%
5. 크레센도
크레센도 숫자조합은 12345와 23456 두 가지
그리고 이걸 배열하는 경우의 수 5!=120
2×120=240가지
크레센도가 뜰 확률은 240/7776=약 3.09%
6. 콰르텟
6개 숫자 중 콰르텟으로 나올 숫자를 고르는 경우의 수 6
5개 주사위 중 콰르텟 띄울 4개의 주사위를 고르는 경우의 수 5C4=5
남은 1개 자리에 남은 5개 숫자중 하나를 넣는 경우의 수 5
6×5×5=150가지
콰르텟이 뜰 확률은 150/7776=약 1.93%
7. 매그니피센트
숫자 조합은 11111, 22222, 33333, 44444, 55555, 66666으로 6가지
매그니피센트가 뜰 확률은 6/7776=약 0.0771%
8. 꽝
꽝의 숫자조합은 12346, 12356, 12456, 13456 네 가지
그리고 이걸 배열하는 경우의 수 5!=120
4×120=480가지
꽝이 뜰 확률은 480/7776=약 6.17%
9. 검산
지금까지 계산한 경우의 수를 다 합치면
3600+1800+1200+300+240+150+6+480=7776 정확히 맞아 떨어짐
10. 확률표
주사위 | 듀오 | 더블듀오 | 트리오 | 앙상블 | 크레센도 | 콰르텟 | 매그니피센트 | 꽝 |
확률 | 46.3% | 23.1% | 15.4% | 3.86% | 3.09% | 1.93% | 0.0771% | 6.17% |
포인트 | 20pt | 50pt | 80pt | 250pt | 300pt | 800pt | 3000pt | 0pt |
11. 기댓값
(각 주사위 결과의 확률)×(결과로부터 얻는 포인트)를 모두 합하면 기댓값이 나옴
직접 계산해보면 약 69.83pt임
이게 무슨 뜻이냐? 주사위를 던질 때마다 얻을 포인트의 기댓값은
더블듀오보다 크고 트리오보다 작다는 뜻임.
즉, 오로지 포인트를 목적으로 두고 주사위를 굴릴 때, 꽝, 듀오, 더블듀오까지는 나왔을 때 다시 굴리는게 이득이고 그 이상은 다시 굴리지 않는게 이득임.
물론 다시 굴리기에 소모되는 달러, 매그니피센트 보상 등 계산에 포함시키지 않은 다양한 가치 판단들이 존재하기 때문에 그것까지 포함해서 주사위 굴리면 됨. 트리오에서 다시 굴리는 것도 기댓값이랑 10pt밖에 차이 안 나기 때문에 높은 등급을 노릴거면 굴려볼만함.
그 외 흥미로운 것들
1. 더블듀오, 트리오의 확률은 정확히 듀오의 1/2배, 1/3배
2. 앙상블, 크레센도의 확률은 정확히 트리오의 1/4배, 1/5배
3. 콰르텟의 확률은 정확히 앙상블의 1/2배
4. 매그니피센트의 확률은 정확히 콰르텟의 1/25배. 갑자기 여기서 확률이 팍 꺾이는데 매그니가 어지간히 안 뜨는 데는 이유가 있음 ㅇㅇ 콰르텟 25번에 매그니 1번 꼴이라고 생각해야함.
5. 기댓값을 가장 많이 올려주는 혜자 보상은 의외로 콰르텟. 은근 확률 높으면서 포인트도 많이 퍼주는 구간.
